¿Qué es un lugar geométrico?:
¿Qué es un lugar geométrico?
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada relación geométrica. Tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.La mediatriz y la bisectriz
Mediatriz: Los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.
Propiedades:
- Las distancias AO y BO son iguales.
- Toda circunferencia con centro en un punto de la mediatriz que pase por uno de los extremos del segmento pasará también por el otro.
- A y B son simétricos con respecto a la mediatriz.
Bisectriz:
Los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.
Propiedades:
- Las distancias PA y PA' son iguales.
- Una circunferencia con centro en P que pase por A, también pasará por A' y será tangente a los lados del ángulo.
- Los lados del ángulo son simétricos con respecto a la bisectriz.
Las cónicas
¿Qué es una cónica?
Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.La circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
La eclípse
Lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de las distancias a los focos es una cantidad constante.
Obtención de un cono:
ELIPSE: Dibujamos un círculo de centro C y un punto S en el interior del círculo. Desde
cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas
rectas envuelve a un elipse. Cuanto más cerca esté S de C, más parecida a una circunferencia
será la elipse obtenida (menor será su excentricidad).
Método de jardinero: elipse
Desde tiempo inmemorial, los jardineros que pretendía hacer un parterre elíptico, usaban este método de construcción:
- Se clavan en el suelo dos estacas. Los puntos en los que se clavan las estacas son los Focos, F y F', a una distancia c el uno del otro.
- Se atan los extremos de una cuerda en las estacas, de modo que la semilongitud de la cuerda, a, sea mayor que c.
- Se tensa la cuerda, con una tercera estaca. Se marca la posición en el suelo y se arrastra por la cuerda la estaca, siempre manteniendo tensa la cuerda. La curva trazada es una elipse, porque la suma de las distancias al punto P marcado por la estaca cumple FP + PF' = 2a
- La excentricidad de la elipse es e = c/a . El método de construcción de la elipse determina que para una elipse e<1.
Mesa de billar elíptica.
El billar elíptico se trata de una mesa de billar en la que las bandas rectas han sido sustituidas por una única banda continúa de forma elíptica. Es un dispositivo presente en algunos museos de ciencia que ya había fabricado, entre otras ideas ingeniosas. Su característica principal es que cualquier bola lanzada desde un foco, o que pase por él, acaba pasando por el otro foco después de rebotar en la banda. Las reglas que impone un billar elíptico son diferentes a las de un billar convencional. Además de lo que hemos visto para cuando una bola pasa por el foco, si no hay rozamiento y el movimiento puede prolongarse en el tiempo, tiene que cumplirse:- Una bola que pasa por el foco, pasa sucesivamente por los focos y su trayectoria irá acercándose poco a poco al semieje mayor.
- Si una bola pasa entre los focos, su trayectoria después de diversos rebotes pasará siempre entre los focos.
- Si pasa por el exterior de los focos, después de sucesivos rebotes seguira siempre pasando por el exterior de los focos.
Dos ejemplos: Para reproducir mantener el cursor encima de la imagen.
En este vídeo podréis ver el cómo es y un poco el funcionamiento.
La hipérbola
La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante: 2a.
Lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la diferencia de las distancias a los focos es una cantidad constante k.
Obtención de un cono:
HIPÉRBOLA: Se dibuja un círculo de centro C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hipérbola. Las perpendiculares CA y CB a las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por S son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola se acerca en el infinito.
La lámpara hiperbólica:
Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara forman una hipérbola, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:
- Se define como origen al filamento del foco o bombilla de la lámpara.
- Los ejes
e
forman el plano horizontal con el eje
- El eje
es el eje vertical.
La parábola
La parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz.
Obtención en un cono:
PARÁBOLA: Dibujamos una recta cualquiera L y un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. Una cantidad suficiente de rectas así construidas envuelven a una parábola con foco en el punto S.
La antena parabólica:
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie en realidad es un paraboloide de revolución. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full dúplex, llamadas así cuando pueden trasmitir y recibir simultáneamente. Suelen ser utilizadas a frecuencias altas y tienen una ganancia elevada.
En las antenas parabólicas transmisoras, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en dicha superficie, produciendo ondas más coherentes que otro tipo de antenas.
En las antenas receptoras el reflector parabólico se encarga de concentrar en su foco, donde se encuentra un detector, los rayos paralelos de las ondas incidentes.
El reflector puede estar construido de diferentes materiales:
En las antenas parabólicas transmisoras, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en dicha superficie, produciendo ondas más coherentes que otro tipo de antenas.
En las antenas receptoras el reflector parabólico se encarga de concentrar en su foco, donde se encuentra un detector, los rayos paralelos de las ondas incidentes.
El reflector puede estar construido de diferentes materiales:
- Una superficie metálica, generalmente aluminio para reducir peso.
- Fibra con un baño de una sustancia metálica por su cara cóncava. Se suele utilizar en parábolas de gran tamaño para reducir peso.
- Malla metálica que puede ser galvanizada o acerada.
El horno solar:
El Horno Solar Parabólico es un instrumento que permite cocinar alimentos empleando exclusivamente la el poder calorífico del sol. El funcionamiento de este ingenio es sencillo. Consiste en la concentración en un solo foco de los rayos incidentes en una superficie, consiguiendo de esta manera alcanzar altas temperaturas que permiten el cocido de los alimentos. Basta con orientarlo adecuadamente en la dirección del sol, para lograr que los espejos cóncavos con que cuenta convenientemente orientados concentren los rayos solares.
Espejo parabólico:
Vamos a considerar un espejo parabólico con la cara reflectante cóncava. Podemos distinguir en él los siguientes elementos:
- Eje óptico: es el eje de simetría de la superficie.
- Foco: punto donde convergen todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico.
Cuando tenemos un espejo esférico y utilizamos una sección esférica muy próxima al eje óptico, la superficie de la parábola y de la esfera son indistinguibles, en consecuencia, su comportamiento es prácticamente igual al de un espejo parabólico. Hablamos entonces de centro de curvatura: es el centro geométrico de la esfera a la que corresponde la superficie del espejo.
Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc.
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.
Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los espejos construidos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir.
Los rayos luminosos que parten de un punto, después de experimentar reflexiones en un espejo, vuelven a concurrir en otro punto que se denomina punto imagen. Una imagen puede ser real o virtual, la primera se forma con la convergencia de los rayos reflejados y puede recogerse en una pantalla; la imagen virtual se forma por las prolongaciones de los rayos reflejados y no se puede proyectar sobre una pantalla.
Según la distancia entre el objeto y el espejo la imagen es diferente. Consideremos un observador que se sitúa en distintas posiciones:
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